Магия ЧИСЕЛ Молниеносные вычислители и их секреты Как делать устную арифметику Животные счетчики Робэр Токэ. 1960 (Впервые опубликовано во Франции в 1957 Пьерром Амиот под названием "2 + 2 = 4")

Намерения автора этой книги было только заинтересовать фактами, а ни как не поучать. По этой причине терминология "руководств" была убрана, где это возможно.

- 7 - Глава 1 Вчера и Сегодня Молниеносные вычислители, особенно неграмотные, привлекали внимание публики во все времена своими экстраординарными способностями. Они могли решать в своей голове, иногда мгновенно и без видимых усилий, проблемы зачастую такие сложные что многие из нас, даже математики, привыкшие жонглировать числами, могли бы решить их только с карандашом и бумагой за значительно большее время, и даже без уверенности что доведут дело до конца. Некоторые из них, кроме всего прочего, будучи ознакомлеными с заданием, могли свободно общаться со зрителями, дискутировать о предметах совершенно посторонних к заданию которое они выполняют, а затем, вдруг дать искомый ответ, как если бы вычислительный механизм работал внутри без участия сознания. Как общее правило, и этот факт должен быть подчеркнут немедленно, молниеносные вычислители, за исключением способностей к оперированию с числами с исключительной виртуозностью, имели интеллект ниже среднего; и иногда даже были умственно недоразвиты. Так, Колберн всегда был в классе среди отстающих, Бакстон даже не мог написать своего имени, а Иноди не умел читать и писать до двадцати лет. Есть определенные исключения, и тем не менее, это правило, хотя некоторые из них были известны как получившие нормальное образование и даже попадались гении среди феноменов счетчиков: Ампер, Араго, Джордж Биддер, Уэйтли и Гаусс для примера. Молниеносные вычислители прошлого Среди счетчиков вундеркиндов, которые были всегда и даже часто были слабо образованы, давайте вспомним тех, кто имел большую известность в прошлом, прежде чем начнем изучать в деталях современников. Греческий писатель Юлиан упоминал некоего Никомахоса, который жил в Герасе в Палестине, во втором столетии нашей эры, и который находил решения различных задач с большой скоростью.

- 8 - Балтазар из Монконоса, во время своего третьего путешествия по Италии, записал, что в 1664 Мэтью ле Кок, которому было тогда восемь лет и который не умел читать и писать, демонстрировал сложные арифметические вычисления, такие как перемножение пяти и шести значных чисел и извлечение квадратных и кубических корней, причем уже делал это два года. Томас Фуллер, которого еще называли Вирджинский Счетчик, или Негр Счетчик, был почти полностью невежественный. Будучи рабом в Аирджинии в середине восемнадцатого века, он как не мог читать так и писать и умер в возрасте восьмидесяти даже не научившись это делать. Скрипчер описывает следующую историю о нем в Американском Журнале Психологии: "Когда Фуллеру было примерно семьдесят лет, два джентельмена, исконные Пенсильванцы, Вильям Хартсшорн и Самюэль Коатс, господа честные и порядочные, услышали о счетчике и послали за ним и задали следующие вопросы: Во первых, сколько секунд содержится в одном году с половиной? Фуллер ответил примерно через две минуты что 47 340 000 секунд. Второе: сколько секунд прожил человек которому семьдесят лет, семнадцать дней и двенадцать часов? Фуллер ответил за минуту с половиной 2 210 800 800. У одного из джентельменов, который проверял его, возникли проблемы с вычислением на бумаге и он сказал Фуллеру, что ответ не верный, и что число секунд должно быть меньше. Но Фуллер подсказал, что разница двух результатов связана с високосными годами." Джедедия Бакстон, родившийся в Элмтоне, недалеко от Честерфилда, жил в англии с 1702 по 1762. Бедный рабочий, полностью безграмотный, до такой степени, что не мог написать своего имени, ниже среднего развития, Бакстон имел большие сложности в изучении таблицы умножения. И это действительно было единственное образование, которое он получил. С другой стороны, как большинство молниеносных вычислителей, он имел сильно развитую память на числа. Например, он знал точное число секунд в дне и году. Обладая положительной манией на арифметику, "он мог воспринимать только числа, и думать только об мысленных вычислениях", писал Альфред Бине, "его мозг был полностью закрыт для всего другого". Когда он приехал в Лондон его взяли в театр Друри Лейн на "Ричарда III" в исполнении Гаррика. Будучи спрошенным после, понравилось ли тому выступление, обнаружилось, что он только нашел в нем повод совершать подсчеты. Во время

- 9 - танцев он считал число выполненных шагов, которых было 5202. Он также подсчитал число слов произнесенных актерами: 12 445, и отдельно запомнил число слов произнесенных Гарриком, и все это было совершенно точно. В своих вычислениях он пересчитывал все длины в эксцентричный стандарт - толщину волос, который он сам придумал произвольно.1 Он был не только устным счетчиком большой силы. Он также имел очень точные глаза, своего образа пророческую способность на оценку площадей. Обойдя по полю или маленькому участку земли, он мог, как рассказывали, выдать размер участка так точно, как если бы он пользовался линейкой. Таким способом он определил площадь всего Элмтона в акрах, и для своего личного удовлетворения перевел результат в квадратные дюймы и квадратные толщины волос. Зера Колберн, родившийся в штате Вермонт (США) в 1804, начал вычислять без умения читать и писать. Однажды отец по случайности обнаружил его необычные способности. Ребенок повторял вслух таблицу умножения без, как казалось, возможности видеть когда-либо эту таблицу. Пораженный мр. Колберн спросил его: "Сколько будет 13 раз по 97?" и ребенок сразу ответил: "1261". Ему было тогда шесть лет. Мр. Колберн увидел в этом даре к вычислениям возможность получить деньги и ему пришла идея показывать сына. Так Зера Колберн стал первым профессиональным молниеносным счетчиком. Он выступил в Бостоне, и затем, в возрасте десяти лет, приехал в Лондон, и Париж где, к сожалению, его способности не получили успеха. На все попытки выяснить у него секрет его мистического дара, он 1 Несколько лет назад др. Гинстоус представил Анатомическому обществу Бордо молодого человека, который вел себя похоже на то, как вел себя Бакстон. Он не переставая подсчитывал в голове все буквы содержащиеся в вразах которые читал, писал, коворил, слышал или думал. Независимо от того какую бы газету он читал, выписывает что-либо, или разговаривает с другом или посторонним человеком, он считал все без какого бы то ни было труда сулящего малейщую усталость, или вызывающего физиологическую трудность или препятстующего ему в профессии. Начиная с детства он просчитал все буквы в учебниках и тех книгах, которые смотрел только раз, и строчки Энеиды или Илиады, которые он заучил наизусть. Эта странная умственная активность наблюдалась до ночи и он никогда не видел снов. Но возвращалась как только он просыпался. Когда он не был занят разговором и ни чего не читал, он составлял предложения которые непрерывно просчитывал. Этот субъект обладал некоторой особенностью. Он обладал феноменальной цветовой визуализацией. Месяца и дни недели представлялись ему окрашенными светлеее или темнее согласно прошедшему времени от последнего месяца в году или дня в неделе. Январь и понедельник представлялись ему как совершенно белые; другие месяца или другие дни недели были ближе к тону серого, с постепенным увеличением темного с полной чернотой для декабря и воскресенья.

- 10 - постоянно отвечал: "Сам Бог вложил все это в мою голову и я не знаю как все это вложить в вас". Благодаря поддержке и патронажа Вашингтона Ирвинга он был допущен до обучения в Лицей Наполеона в Париже, а затем в Колледж Вестминстера, но было обнаружено, что за исключением устных вычислений его мозг был закрыт ко всем обычным формам обучения. Он потерял способность вычислять, без видимых причин, в возрасте двадцати лет. Заслуживает внимания то, что Колберн имел одну физическую особенность, определенный признак вырождения: он имел дополнительные пальци на каждой руке и каждой ноге. Захария Дазе, родившийся в Германии в 1824, отличался от большинства молниеносных вычислителей тем, что предоставил свои способности на службу науке. Он вычислил натуральные логарифмы чисел он 1 до 100500 и таблицу делителей и простых чисел от семи до восьми миллионов. Но он так и не смог обучиться классической математике, несмотря на попытки выдающихся учителей которые были заинтересованы в нем. Кроме того он не проявил ни какого интеллекта и в чем что не было связано с числами или цифрами. Обе его способности к счету и запоминанию были невероятными: астроном Гаусс заставил его перемножить устно одно на другое, числа содержащие по сто знаков. Каждый может буквально поразиться, проверив с карандашом в руке, что за огромный масив цифр требует данная операция. Сам Шумахер писал, что Дазе перемножил два числа, в 8 знаков каждое, за пятьдесят четыре секунды и два числа, в 20 знаков каждое, за шесть минут. Он также имел большую скорость в восприятии и визуальную память для оценки числа объектов имеющихся в группе, например число книг в библиотеке. Вито Мангиамеле был невысокий, десятилетний пастушок из Сицилии, приехавший в Париж, и протестированный Арраго в 1837. Не имея образования он разработал для своих вычислений процессы, которые сам никогда не мог объяснить. Во время выступления в Академии Наук его спрашивали, например: "Чему равен кубический корень из 3796416?" Менее чем через минуту он ответил: "156", что было правильно. У него отняло не больше времени решение следующего уравнения: x3 + 5x2 - 42x - 40 = 0 и x5 - 4x - 16799 = 0

- 11 - Большую известность приобрел в свое время и Анри Монде. Родившийся в 1826 в Неву ле Ру, около Тура, он был сыном бедного дровосека. В возрасте семи лет, когда он еще не умел читать или писать, он забавлялся используя в вычислениях овец, которых пас. Ни чего не зная о знаках он вычислял на маленьких камешках располагая их различными методами. Учитель из Тура, мр. Якоби, который рассказал об этом, пытался обучать его, но без успеха. В конце концов его привезли в Париж и представили Академии Наук. Экзаменационная комиссия состояла из Араго, Серреса, Штума, Лиовелля и Коши. Вскоре было выяснено что ребенок имеет необычне способности к устным вычислениям, удивительную память на числа, но почти полное отсутствие памяти на названия мест, людей, или объектов которые не интересны ему. Также было замечено, что во время решения задач он может быть занят полностью не имеющей отношения к процессу деятельностью. Наконец, комитет опубликовал некоторые вычислительные процессы которые он изобрел. Здесь приведен отчет Коши, из которого мы взяли следующие отрывки: "Во многих случаях Анри Монде изобретал методы, иногда просто замечательные, для решения многочисленных вопросов связаных с алгеброй, и определял в своей манере точные или приблизительные значения целых чисел или дробей, которые соответствовали требуемым условиям. Когда он должен был перемножить целое число на другое Анри Монде обычно делил эти числа на группы по два знака. Он самостоятельно нашел, что операции становятся проще в случае, когда множители равны, и правила, которые он использовал для получения результата или необходимой степени точно такие как мы используем в формулах известным как бином Ньютона. Управляемый такими правилами он был способен дать почти мгновенно, когда его спрашивали о том, квадраты и кубы множества чисел, например, квадрат 1204 или куб 1006. Поскольку он знал на память квадраты всех чисел меньше 100, разбивание больших чисел на группы по два знака, позволяло ему получать их квадраты гораздо проще. Так он был способен найти квадрат 755 почти мгновенно во время выступления перед членами Академии. Без чьей бы то ни было помощи Анри преуспел в разрабатывании требуемых методов для нахождения суммы арифметической прогрессии. Среди правил,

- 12 - которые он изобрел для решения различных задач есть несколько, которые могут быть сравнимы с известными алгебраическими формулами. Методы которые он разработал для подсчета сумм кубов, четвертых и пятых степеней натуральных чисел, могут быть приведены как пример. При решении системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными Анри использовал метод, который имеет смысл описать. Сначала он разделял переменные, а затем вычитал одно уравнение из другого, после того, как умножал первое на коэффициент существующий между ними, найденный последовательным использованием коэффициентов неизвестных. Когда же требовалось решить не систему уравнений первой степени, а линейное уравнение степени выше первой, Анри обычно использовал метод, который мы объясним на примере. Мы давали ему задачу следующим образом: Найти число, чей куб увеличенный на 84, равен произведению этого числа на 37. Анри дал как решение числа 3 и 4. Чтобы решить, он трансформировал уравнение которое требовалось решить разделив обе части на искомое число. Вопрос был превращен в следующий: найти число, чей квадрат, увеличенный на коэффициент полученный делением 84 на это число, даст 37. С помощью данной трансформации Анри Монде сразу понял что искомое число меньше квадратного корня из 37, в последовательности до 6, и очень быстро несколько попыток привели его к двум указанным числам. Даже задачи на неопределенные уравнения были Анри Монде по плечу. Один из нас спросил его о двух квадратах, чья разница равна 133. Как решение он незамедлительно дал систему чисел 66 и 67. Его попросили найти более простое решение. Через мгновение он среагировал сообщив числа 6 и 13. А вот способ, который Анри применил, для нахождения двух решений. Разница между квадратами искомых чисел равна квадрату их разности и числу равному удвоенной разницы умноженной на меньшее число. Вопрос упрощается и становится следующим: вычесть из числа 133 квадрат так, чтобы остаток делился на удвоенный квадрат. Если попробовать один за другим квадраты 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ... то

- 13 - будет ясно, что среди этих квадратов 1 и 49 единственные, которые удовлетворяют новому вопросу. Вычитая их из 133 и деля остатки 132 и 84 на удвоенный корень, который соответственно 2 и 14, получаем частные 66 и 6, каждое из которых соответствует одому из решений данных Анри Монде. Так уж получилось из этого метода, что Анри Монде получил первыми не ответы, которые кажутся нам проще, а те квадраты, чьи корни ближе друг к другу." Коши заканчивает свой отчет с выражением надежды, что Анри Монде должен проявить себя когда-нибудь на поприще науки, но несмотря на такую оптимистическую надежду этот молниеносный вычислитель умирал в неизвестности. Современные Молниеносные Вычислители Жак Иноди Мы начнем с наиболее известного и самого популярного молниеносного вычислителя нашего времени: Жака Иноди. Жак Иноди родился в очень бедной семье, в Онорато, в Пьедмонте в 1867. Он был пастухом, когда около шести лет от роду его захватила страсть к цифрам. Охраняя свое стадо, он практиковался работая с числами в голове, так что в возрасте семи лет уже был готов к устным перемножениям требующим пяти-значные числа. И при этом он не знал таблицу умножения! После смерти матери он оставил родные места и отправился бродяжничать с братом, демонстрируя ручную белку. Брат играл на шарманке, а Жак показывал белку и собирал деньги. Он говорил со зрителями которых встречал об устных вычислениях, в которых они обычно ни чего не понимали. На рынке он помогал крестьянам делать их расчеты: "В действительности", пишет он, "я был сильно удивлен что эти люди, которые были обычно проницательны, почти ни чего не знали о подсчетах, которые я делал почти мгновенно, всего лишь услышав их; это дало мне смелость однажды предоставить аргументы для урегулирования расчета между двумя крестьянами, которые готовы были подраться, и которых я успокоил продемонстрировав, что они оба были не правы; эта перебранка естественно собрала толпу, которая была удивлена, что маленький паренек вроде меня знает как считать лучше, чем два взрослых. Те, кто разбирались в числах начали задавать мне различные вопросы на которые я отвечал правильно и очень быстро, все еще оставаясь в недоумении, что кто-то не знает ответов которые

- 14 - кажутся мне столь естественными. В результате крестьяне начали вызывать меня всякий раз, когда возникали трудности". Вскоре Иноди начал выступать в кафе, где его представлял коммивояжер М. Домби, который стал его импрессарио и повез его в турне по провинции и затем привез в Париж. Здесь он привлек внимание Камилла Фламмариона, который написал несколько статей о нем в различные научные жюрналы. Известный антрополог Поль Брока, обследовал его в свою очередь и подготовил короткий репортаж об этом случае. Брока подметил, что голова Жака иноди была очень большая и неровно сформирована. Молодое дарование в заключение выступил в Зале Капучинов в Париже, и позже в Театре Робер Удена. В то время ему было тринадцать. Был 1892 год, когда он вернулся в Париж; он научился к тому времени читать и писать и его интеллект частично развился. Теперь это был молодой, 24 летний мужчина, невысокий и приземистый, с прочной головой, полузакрытыми глазами, лицевой угол сильно разработан, почти прямой. Согластно Бине, он вел себя тихо и скромно, говорил мало и был собран. Его образование было не слишком широкое; и следовательно число тем для разговоров было ограничено. Его импресарио, который был тогда М. Торси, представил его Академии Наук, которая сформировала комитет по изучению счетчика. В нее входили Дарбу, Пуанкаре, Тиссерант и Шарко. Альфред Бинэ стал членом позже. После многочисленных тестов комитет дал свое заключение, через отчет М. Дарбу. "Прежде всего надо отметить", писал известный математик, "что результаты, которым мы были свидетелями, более всего обусловлены чудесной памятью. В конце сеанса, посещаемого нашими студентами, Иноди повторил серии чисел протяженностью более чем 400 знаков. Во время одной из наших встреч мы дали Иноди 22 знака. Он был способен повторить его восемь дней спустя, хотя мы не предупреждали его, что когда-либо попросим об этом после. Второй момент, который кажется мне очень важным, был пропущен большинством тех, кто проверял его. Они проанализировали с большой глубиной процессы, несомненно бывшие очень простыми для них самих, которые использовал Иноди в различных вычислениях; но они не обратили внимание на один очень очевидный факт: что все методы были изобретены самим вычислителем, и были полностью оригинальными. И, что также интересно, что эти правила отличаются от применяемых

- 15 - в Европе, хотя некоторые из них имеют некоторое сходство с другими, например, применяемыми в Индии. Это будет очевидно из следующего: Сложение. - Иноди легко складывал 6 чисел в 4 или 5 знаков; но он делал это постепенно, складывал первые два, затем к ним прибавлял следующее и так далее. Он всегда начинал сложение слева, как делают сейчас Индийцы, вместо того того, чтобы начинать справа как мы делаем. Вычитание. - Это один из коронных номеров Иноди. Он вычитает легко, одно из другого, два числа остоящих из множества цифр, начиная всегда слева. Умножение. - Используемые методы все элементарные, но они требуют память Иноди. Например, для пеермножения 834 на 36 он делает следующие операции: 800 x 30 = 800 x 6 = 30 x 30 = 4 x 30 = Сумма   24000 4800 1080     2 144   30024 Во всех приведенных частях перемножения, ни один из множителей не имеет более одного знака. Несмотря на это Иноди знал и использовал свойства числа 25; он знал, что для умножения на это число достаточно взять четверть множимого. Например, для возведения в квадрат 27, он должен был сделать следующие операции: 25 x 27 = 2 x 27 = Сумма   675     54   729 Иногда он использовал в частичных операциях знаки - (минус). Например, для возведения в куб 27, что было продуктом перемножения 729 на 27, он делал следующее: (700 x 20; 700 x 7; 30 x 20; 30 x 7) - 27 or 730 x 27 = 19,710 - 27 = 19,683. Деление. - Здесь Иноди коренным образом следовал обычным правилам, которые преобразовывали деление в вычитание, но иногда использовал

- 16 - упрощения, которые позволяла его память, которую всегда надо иметь в виду. Возведение в степень. - Для возведения чисел в степень, Иноди знал и использовал правила сходные с квадратом суммы. Например, для возведения в квадрат 234567 он делал следующее: 2340002 + 2 x 234000 x 567 + 5672. Извлечение корней. - Здесь не было специальных правил; здесь применялся простейший метод проб и ошибок. Например, для нахождения корня который равен 14072, Иноди должен был проверить 14000 и 15000, затем 14600, затем 14650, 14660, 14670 ... и так каждый раз, степень числа все время вычиталась из большего числа.1 Иноди также решал различные сложные задания по арифметике и алгебре для которых ответ был представим целыми числами." Здесь приведены некоторые задачи которые не указал в своем отчете М. Дарбу: 1. Найти число, квадратный корень из которого и кубический различаются на 18. Ответ: 729, дан через одну минуту и пятьдесят семь секунд. (Научное Ревю.) 2. Найти число из двух знаков, такое, что разница между учетверением первой цифры и утроением второй равно 7, и если поменять их, получится разница 18. Отрицательное решение найдено в конце двух минут. 3. Найти четырехзначное число, у которого сумма цифр равна 25, и известно, что сумма сотен и тысяч равна числу десятков, сумма десятков и тысяч равна числу единиц и такое, что, если число повернуть оно увеличится на 8082. Ответ: "Поскольку число увеличится на 8082 если перевернуть, получается что число тысяч должно быть 1 и единицы 9; Я тогда вычитаю 9, которое равно числу единиц, из 1 В I948, в возрасте восьмидесяти одного года, Иноди описал основные правила, которые использовал в своих вычислениях: "Например, Для нахождения суммы первых 25 кубов, я умножаю 25 на 26, получая 650, делю результат на 2, что дает 325, и возвожу это в квадрат, что дает требуемое число: 105625." Таким образом Иноди имперически нашел формулу которая дает сумму кубов всех первых n чисел и которая записывается как: S = ( n(n + 1) 2 )2 Анри Монде также открыл этот процесс.

- 17 - 25; Я имею 16 для суммы оставшихся трех знаков. Далее, число тысяч плюс число сотен равно числу десятков, значит число десятков должно быть равно половине 16, то есть 8. Три цифры уже известны, это просто вычесть их из 25 чтобы получить сотни, 7, и выяснить, что искомое число равно 1,789." (Научное Ревю.) 4. Сумма трех чисел равна 43, а то же для кубов 17299. Ответ: 25, 11, 7. 5. Найти число из четырех знаков, сумма цифр которого должна равняться 16, с условием, что 3-я цифра в два раза больше 1-й, а 4-я равна утроенной 1-й плюс 3-я. Перевернувшись число увеличивется на 3456. Ответ: 1825. 6. Расстояние от Парижа до Марселя 863 километра. Поезд стартует от Парижа в 8.15 утра и движется со скоростью 39 километров в час к Марселю. Другой поезд стартует из Марселя в Париж в 10.30 утра со скоростью 46 километров 500 метров в час. найти, на каком расстоянии между двумя городами они встремятся. Ответ: Поезда встретятся в 7 часов 31 минуту 13 и 4/6 секунд вечера, в 419 километре 451 метре и 80 сантиметрах от Марселя, и 344 километре 548 метрах и 20 сантиметрах от Парижа. 7. М. Лаурент, экзаминатор в Политехнической Школе, рассказал Альфреду Бине, что счетчик Винклер мог разложить число на четыре квадрата, и этот тест был испытан на Иноди. Альфред Бине предложил число 13411. В три минуты Иноди назвал ему четыре следующих числа: 115, чей квадрат 13225; 13, чей квадрат 169; 4, чей квадрат 16; 1, которое в квадрате 1. Сумма всех четрех квадратов: 13411. Минутой позже счетчик нашел другое решение: 113, в квадрате дает 12,769; 25, в квадрате 625; 4, в квадрате 16; 1, в квадрате 1. Сумма четырех квадратов: 13411. Наконец, некоторое время спустя (точное время не было записано), Иноди нашел третье решение: 113, в квадрате 12769; 23, в квадрате 529; 8, в квадрате 64; 7, в квадрате 49. Сумма четырех квадратов: 13411.

- 18 - Мр. Лебескю, автор Вступления в Теорию Чисел, заметил, что ему понадобилось бы две недели для получения подобного результата. Иноди действительно вычислял с удивительной скоростью. Так в 1924 Морис д'Окаж предложил организовать соревнование в Обществе Гражданских Инженеров в виде матча счетчика с вычислительной машиной того периода. Иноди победил машину в сложении, вычитании, возведении в степень, извлечении корня и в большинстве перемножений. Только в перемножении пяти значных чисел машина показала себя быстрее человека.1 В других случаях Иноди уже давал ответ на задание до того, как машина заканчивала демонстрировать вычисления. Кроме того, подобно большинству молниеносных вычислителей, Иноди называл день недели соответствующий любой дате почти мгновенно, что машина не могла делать. Альфред Бине, который изучал Иноди с точки зрения психологии, показал, что счетчик был по сути "аудио" типа и его память была сильно специализирована. Будучи в силах запоминать сотни чисел он не был в состоянии повторить более чем пять или шесть букв предоставленных в некотором порядке: a, r, g, f, s, m, t, u, например. Он продемонстрировал ту же неспособность запомнить две строчки стихов или прозы. С другой стороны он мог поддерживать разговор и отвечать на вопросы остроумно и по существу, во время решения предложенных проблем в голове. Перикл Диаманди Молниеносный вычислитель, Перикл Диаманди, который был современником Иноди, не принадлежал к группе вычислителей с менее чем средним развитием или малым образованием. Наоборот, он был высоко культурным человек, но поскольку он был долгое время исследуем Альфредом Бине и рассматривался в сравнении с Иноди мы опишем его здесь. 1 Электронные "мозги" и современные вычислительные машины позволяют вычислять, со скоростью света и совершенно точно, самые сложные вычисления которые могут только заинтересовать группу специалистов в течении недель и даже целых лет. Эти машины могут дать произведение двух любых чисел менее чем за одну 50 миллионную секунды. Их иногда называют как "думающие машины". Это действительно только в пределах установленных изобретателем человеком и зависит от конечного результата который он ожидает получить. Конечно возможно сделать такие машины которые будут решать логические задачи, например силлогизмы, при учловии, конечно, что будут применены специальные символы и правильно представленные. Но между этим и истинным "мышлением" есть пролив которые не имеет моста.

- 19 - Диаманди, родился в 1868 в Пиларосе на Ионических островах, в семье торговца зерном. В школьные годы он был первым по математике в классе. В 1884 он оставил школу и начал работать в зерновом бизнесе. Именно в это время он осознал свои необычные способности в устных вычислениях. Он развил их и разработал методы для упрощения вычислений. В то же самое время он выучил румынский, Французский, Немецкий, Английский и еще два вторичных языка, и писал стихи и романы. Однажды, случайно прочитав в газете о выступлении Иноди, он загорелся желанием победить его и выступил сам с устными вычислениями в Греции и Румынии. Он приехал в Париж в 1893 с целью организовать соревнование с Иноди; но по различным причинам состязание не состоялось. Вскоре Диаманди предложил себя обследовать Академии Наук, перед которой сначала продемонстрировал свои возможности как вычислителя. Академия предложила проэкзаменовать мологого человека тому же самому комитету, который тестировал Иноди. Исследование было проведено, и в заключении профессор Шарко опубликовал материалы о Диаманди в Психологическом Ревю. Позже Альфред Бине проверил и дополнил результаты работы Шарко и также опубликовал их, в том же издании. Исследования показали, что Диаманди обладал приблизительно такими же возможностями, как Иноди, но его память была "визуальная", в то время как у Иноди была, как мы видели, "слуховaя". Диаманди "видел" числа в своей голове, прямо перед лбом, как если бы они были написаны на экране. Казалось они были зафиксированы там, до тех пор, пока усилием воли он не вызывал их и не стирал. Когда вместо того, чтобы видеть числа, он их слышал, ему приходилось производить своего рода трансформацию для превращения их из звукового представления в визуальное, прежде чем начать вычислять. В следствие этого Диаманди просил, что бы предлагаемые ему числа для тестов были написаны на листке бумаги или на доске. Например, он просил одного из асистентов написать любые пять чисел по пять знаков на доске: 4   9   3   5   7 8   0   2   4   6 9   5   3   1   4 2   7   6   9   5 7   6   2   3   2

- 20 - Он смотрел на них несколько секунд, затем, из памяти, повторял их по желанию снизу вверх, сверху вниз, с лева на право, с права на лево, по диагонали и в любом другом предложенном направлении. У зрителей создавалось впечатление, что числа были сфотографированы в его памяти и затем он читал их внутри себя с той же легкостью, как если бы он читал их с доски. Подобно Иноди, Диаманди мог производить арифметические операции с большой скоростью. Например, его попросили перемножить число из пятнадцати знаков на число из четырех знаков. Он продиктовал ответ через пол минуты. Он затратил около двух минут на извлечение квадратного корня из числа в десять знаков. По окончании процесса он повторял по памяти числа содержащиеся во всех операциях, которые он проводил и которые были написаны на доске, сначала в прямом порядке, а затем в обратном, без колебаний, без ошибок, и так быстро, что почти невозможно было уследить. В некоторых случаях его просили повторить их, так как его внутреннее зрение обгоняло нормальные глаза проверяющего. Диаманди также мог мгновенно назвать день недели для любой предложенной даты, но, в отличие от Иноди выполняющего вычисления для получения результата, Диаманди разработал таблицу в которой даты образующие последнее столетие были представлены по кругу. В этой таблице была своего рода вращающаяся решетка, собержащая названия месяцев и дней недели. Зная день предложенной даты он должен был лишь повернуть решетку, с правильным названием месяца и года в впоросе. День недели получался автоматически. Но Диаманди не надо было иметь этот аппарат перед глазами. Он запечатлел ее в своей памяти, и имея мысленный экран он мог читать все как с настоящей таблицы. Правда это или нет, но Диаманди верил, что лица людей соответствуют психологическому типу которому они принадледжат. Благодаря своей визуальной памяти он сформировал мысленную коллекцию лиц огромного числа людей, чей характер он знал; таким образом, когда он видел незнакомого человека он мог, как он говорил, описать его тип мышления. В этой форме упражнений его успехи были замечательными и, многие кто консультировался с ним, были абсолютно поражены открытиям которые он делал о наиболее секретных особенностях их мозгов, но, честно говоря, проверить это было почти невозможно.

- 21 - "За время десяти лет моих путешествий по всему миру", рассказывал он Гастону Мери, директору Echo du Merveilleux, "я имел возможности наблюдать люца всевозможных категорий людей. Таким образом в мое моозгу сформировался своего вида кинематографический музей,охватывающий огромное количество типов. Когда я изучаю лицо его образ вызывает все соответствующие образы, и они выстраиваются группой передо мной; я должен только сравнивать. Я знаю, что эта морщинка, эта складка у губ, эта экспрессия во взгляде, эта форма носа помечают тот или иной психологический момент, пятно - тот или другой метот мышления или чувствования. Это верно, что я долгое время должен работать методом проб и ошибок, и определенно, что я все еще делаю ошибки в определении характеров. Но в балансе, если в чтении лиц я не достиг абсолютной точности математических операций, я имею достижения относительной точности, которую я буду пытаться улучшать все больше и больше посредством новых опытов, но которая уже сейчас кажется мне более чем значительной." Одна из его сестер, Урания, тоже была молниеносным вычислителем. В возресте семи лет она обнаружила свои специальные способности. Первые успехи ее брата позже способствовали развитию этого дара. Ее способности к визуализации простирались не только на числа, которые виделись ей как цвета; аналогично она приписала цвета всем буквам алфавита и дням недели. Здесь приведены цвета которые она ассоциировала с цифрами, а так же некоторые буквы и дни недели: 0 Белый (как буква O). 1 Черный (как буква I) 2 Ярко желтый (как буква S в слове Воскресенье (Sunday - англ.)) 3 Киноварь (как Среда) 4 Очень темный коричневый 5 Королевский синий (как Суббота) 6 Ярко желтый (как для 2, но темнее) 7 Очень темный морской-синий 8 Серо голубой 9 Серо-коричневая сепия (как F и Четверг). Урания Диаманди утверждает, что она запоминает проще всего числа содержащие цифры со светлыми и заметными цветами окруженными числами

- 22 - с темными или тусклыми цветами. Она находила, что в этом случае ассоциации цветов и цифр помогали ее памяти. "Например", говорит она, "104 (черный, белый, коричневый) легко понять и запомнить, потому что 0, которое белое, расположено здесь между двумя темными цветами. Аналогично 129 (черный, ярко желтый и сепия) лучше запоминается из-за контраста." Устные вычисления выполняемые Уранией Диаманди были чем-то похожи на показываемые ее братом. Пять рядов пяти значных чисел были написаны на доске. Она посмотрела на квадрат в течении минуты и затем, повернувшись к нему спиной, стала воспроизводить их во всех направлениях и называть любую цифру по ее позиции в квадрате. Она складывала ряды устно, и производила различные операции с числами: вычитание, перемножение, деление, возведение в степень и так далее, и, в частности, могла возводить в степень вплоть до двенадцатой, что создавало числа размером от 7 до 20 точных знаков. Луис Флери Иноди, которого справедливо считали гигантом устных вычислений в течении пятидесяти лет, в последние годы имел достойных конкурентов: Луиса Флери, мадмуазель Осаку и Мориса Дагбера. Луис Флери, родившийся недалеко от Белфорта 21 апреля 1893, с рождения был болен офтальмией на оба глаза, что сделало его полностью слепым. Оставленный родителями в возрасте восемнадцати месяцев, он был отдан Попечительским Советом в семью мелкого фермера. В десять лет он едва мог передвигаться и не мог как мыться так и одеваться самостоятельно. Было сделано усилие дать ему немного образования в школе для слепых в Аррасе; оказалось, что вычисления было его слабым местом: он с трудом научился складывать и вычитать, а перемножал с еще большим трудом, в то время как механизм деления остался для него полностью непонятым. Таким образом, в противоположность большинству великих счетчиков, Флери был умственно отсталым в области элементарной арифметики в самом начале. В пятнадцать, признанный не способным к развитию, он был помещен в дом для неизлечимых. "Он находился там уже два месяца", пишет доктор Ости, "когда пережил внезапный и сильный шок. Человек, около сорока лет, его сосед по палате, стал громко кричать и кататься по полу в эпилептических

- 23 - судорогах. В ночи слепоты, конвульсии пациента и его крики приняли для Флери гигантские пропорции. Эмоциональный шок был так силен, что он болел несколько дней. Этот первый и сильный удар долгое время преследовал его, подобно агонизирующей одержимости. Как результат произошла умственная трансформация. Для психологов это возможно наиболее интересный аспект в случае Флери. В поисках лечения своей одержимости, он пришел к идее сконцентрироваться на работе которая требовала полной отдачи для него так была наиболее сложной. Он стал заставлять себя устно складывать, вычитать и перемножать все что он только мог представить будучи слепым до определенной степени сложности. Это было потрясением! Все вычисления которые он предпринимал давались ему с удивительной легкостью, скоростью и уверенностью. Даже деление, бывшее ранее неприступной крепостью, стало так же просто как и другие операции. С тех пор абстрактный мир чисел стал его внутренней жизнью; его мозг работал в этом направлении без усилий и с удивительной легкостью. Устные вычисления стали его большим увлечением, видом спорта, интеллектуальным спортом человека, которого обстоятельства и слепота заставляли жить большую часть времени сидящим. Однако спорт был без без реального прогресса, все что он хотел у него получалось. Его практика в вычислениях не была так сильно направлена на улучшение точности или силы, как к исследованию расширения возможностей. И этот дар к вычислениям, который был вызван тяжелым психическим кризисом, привел к главному - улучшению. Его мозг, до сих пор бывший в затмении, полностью очистился. Это можно было почуствовать в увеличении способностей к обучению и желании получить образование." И действительно, Флери попросил вернуть его в школу для слепых, но Попечительский Совет не согласился с ним. Тогда он решил, во что бы то ни стало, спастись от болезненности среды в которой жил, для чего решил симулировать сумасшествие. Он был помещен в психическую лечебницу в Арментаре, где быстро выяснили, что он не сумасшедший, а в противоположность тому обладает исключительными способностями к устным вычислениям. В порядке расширения его возможностей ему объяснили что значит квадрат числа, и он сразу же вычислил несколько квадратов трехзначных и четырехзначных чисел. Далее, ему объяснили, что такое квадратный корень, но не описали метода его вычисления. В течении нескольких дней Флери разработал удобный для него метод

- 24 - в извлечения квадратных корней для четырехзначных чисел в уме и без ошибок. Когда пришло время, Флери оставил лечебницу в Арментаре и дал несколько выступлений во Франции; затем поехал в Англию и Соединенные Штаты, где давал представления в школах, театрах и путешествующих цирках. Он вернулся во Францию в 1927, и именно в это время был обследован в Международном Институте Психики др. Ости и его коллегами. Программа тестов была следующей: М. Сент-Лаж, который имел математическое образование и был профессором в Национальной Академии Искусства и Торговли Парижа, играл, что называется, роль экзаменатора. Перед выступлением он подготовил числа для вычислений которые должны были предлагаться, вместе с их ответами. Вопросы были даны устно с большой скоростью; и как только от Флери получали ответ, ему предлагали следующую задачу. Др. Ости определял время на каждое вычисление с хронометром. Здесь приведены некоторые вопросы, с ответами и временем затраченным на устные вычисления: Перемножить 553 на 88. Ответ: 48664, через 2 секунды. Перемножить 649 на 367. Ответ: 238183, через 10 секунд. Разделить 5364 на 43. Ответ: 124, остаток 32, через 4 секунды. Разделить 20700 на 48. Ответ: 431, остаток 12, через 3 секунды. Возвести 5287 в квадрат. Ответ: 27,952,369, через 10 секунд. Возвести 94 в 4 степень. Ответ: 78,074,896, через 15 секунд. Возвести 2 в 20 степень. Ответ: 1,048,576 через 20 секунд. Возвести 2 в 30 степень. Ответ: 1,073,741,824, через 40 секунд. Извлечь квадратный корень из 13 250. Ответ: 115, остаток 25, через 4 секунды. Извлечь квадратный корень из 222 796. Ответ: 472, остаток 12, через 12 секунд. Извлечь кубический корень из 456 609. Ответ: 77, остаток 76, через 13 секунд. Извлечь корень пятой степени из 1,935,752,415. Ответ: 72, остаток 834 783, через 3 минуты 10 секунд. Ему также предлагали и другие проблемы. Так М. Сент-Лаж подобрал целые числа возведенные в куб с добавлением другого

- 25 - четырехзначного числа. Флери называл числа возведенные в куб и и числа которые были добавлены к кубу. Было дано число 707 353 209. Ответ: 891 в кубе и 5238, через 28 секунд. Было дано число 211 717 440. Ответ: 596 в кубе и 8704 через 25 секунд. Другая проблема: разложить 6137 на четыре числа, являющиеся точными квадратами. Флери дал последовательно три ответа. Первый ответ: 5476, квадрат 74; 400, квадрат 20; 225, квадрат 15; 36, квадрат 6, за 2 минуты 10 секунд. Второй ответ: 6084, квадрат 78; 36, квадрат 6; 16, квадрат 4; 1, квадрат 1, за 10 секунд. Третий ответ: 5776, квадрат 76; 225, квадрат 15; 100, квадрат 10; 36, квадрат 6, за 1 минуту 20 секунд. Под конец, для любой даты прошлого или будущего, по Грегорианскому или Юлианскому календарям, Флери называл дни недели почти мгновенно. В то время как большинство молниеносных вычислителей были "визуального" типа, Флери принадлежал к типу "тактильному", который встречается довольно редко. Он говорил, что "чувствует как контуры воображаемых кубаритмов перемещаются под его пальцами", что означает, что слепыми используются рельефы считаемых символов. "Когда он был занят процессом", пишет др. Дизраэлле, который изучал Флери в приюте в Арментаре, "его пальцы двигались с удивительной скоростью. Пальцы с правой руки заменялись на пальци с левой, один за другим; одни представляли сотни, другие десятки, а третьи единицы. Он лихорадочно перемещал пальцы на лацкане пиджака и было забавно наблюдать как он использует тактильные образы для получения ощущений соответствующих тем, которые он получил бы дотрагиваясь до кубаритмов." Подобно всем молниеносным вычислителям, Флери разработал несколько упрощающих процессов, но, будем откровенны, они были не так уж замечательны и вряд ли заслуживают упоминания. С другой стороны интересно заметить манеру в которой он производил извлечение квадратных и других корней, разложение числа на точные квадраты и определение дня недели соответствующих предложенной дате. Но давайте сразу подчеркнем (и это наблюдение относится ко многим операциям выполняемым молниеносными вычислителями) что эти процессы, которые производятся почти мгновенно, в основном

- 26 - бессознательные. Только благодяря анализам появилась возможность их реконструировать. Возьмем для примера извлечение квадратного корня из 1526. Техника Флери, выработанная после последовательности испытаний, сотоит в следующем: требуемый корень больше 30 и меньше 40; 30 в квадрате дает 900 - это слишком мало; 33 в квадрате 1089; 37 в квадрате 1369; оба квадрата меньше чем 1526, и их корни не подходят; 40 в квадрате дает 1600; это число слишком велико. Квадратный корень вероятно 39. И действительно 39 в квадрате равно 1521. Правильный ответ и есть 39, с остатком 5. Разложение числа на четыре точных квадрата использует предыдущий процесс. Возьмем, например, разложение 12315 на четыре точных квадрата. Для начала Флери ищет наиболее близкий квадрат к 12315. В этом случае 10000, квадрат 100, но 10000 не очень близко к 12315; 110 в квадрате дает 12100 и это число уже можно использовать; тогда остаток 215 должен быть разбит на три квадрата. Флери ищет число чей квадрат дает число близкое к 215, но замечает, что остаток не может быть представлен двумя точными квадратами; он решает оставить это и предпринять вторую попытку. Он возводит в квадрат 105, что дает 11025; с остатком 1290, который должен быть переведен в три квадрата; он берет 35, чей квадрат дает 1225; с остатком 65; он быстро видит что квадрат 7, равный 49, и квадрат 4, равный 16, дают вместе 65. Четыре искомых числа: 11025, 1225, 49, 16. Когда требовалось определить день недели соответствующий требуемой дате, Флери, согласно др. Ости, разработал свой метод. Это необходимо помнить: (a) что для даты до 1582 (Юлианский календарь) 1 января 1582 был понедельник; (b) для даты позднее чем 1582 (Грегорианский календарь) включительно, какой день недели 1-е января искомого года (пример: 1 января 1927 был субботой); (c) что первые дни других одиннадцати месяцев года соответствуют этому или другому дню первых двух недель Января; (d) что должны использоваться следующие коррективы: 1. уменьшать на один день в месяц високосного года, до февраля; 2. принимая во внимание уменьшение н аодин день в високосный год, уменьшать для Грегорианского календаря на 12

- 27 - дней каждые двенадцать дней или на 61 день каждые сто лет, поскольку дата должна выпадать на тот же день каждые семь лет; 3. для Юлианского календаря уменьшать на 12 дней для каждых двенадцати дней и на 62 дня для каждых ста лет. Следует отметить что Флери разработал все эти коэффициенты в голове во время нахождения в приюте в Арментаре. Легко представить что его разработки представляют в научных терминах и найти много общего. Два примера данные др. Ости показывают как Флери использовал эти исходные данные. Вопрос: Какой день недели был 13 августа 1911? Исходные данные: 1 января 1927 была суббота. 1 стадия: Определяем день недели 1 января 1911. Данный 16-ти летний интервала между 1927 и 1911, отсылает нас назад на двадцать лет, что приводит к 1907 году, и уменьая на 12 дней получаем 1 января 1907 был вторник. А так как каждый новый год включает обратное смещение на один день (за исключением високосных лет, где 2 дня), следует, что 1 января 1908 - среда; 1 января 1909 пятница (2 дня для високосного 1908 года); 1 января 1910 - суббота; 1 января 1911 - воскресенье. 2 стадия: Узнаем день недели 1 августа 1911. 1 августа года приходится на тот же день, что 3 января не високосного года, или 4 января високосного года. Поскольку 1 января 1911 воскресенье, 3 января 1911 вторник и 1 августа 1911 также вторник. 3 стадия: Определяем день недели 13 августа 1911. 1 августа 1911 был вторник; 15 августа 1911 тоже вторник; 13 августа 1911 - воскресенье. А теперь, и это достойно внимания, все эти исходные данные и все аргументированные процессы прошли в мозгу Флери менее чем за секунду, так как он дал правильный ответ в конце этого времени. Следующий вопрос: Какой день недели был 19 сентября 139 года? Исходные данные: 1 января 1582 - понедельник. 1 стадия: За исключением исходных данных уже рассмотренных, Флери знал, поскольку давно работал над этим, что, в Юлианском календаре, те же самые дни недели повторяются каждые 28 лет. Это позволяло заглянуть

- 28 - назад на 1400 лет (1400 делится на 28). Получаем 1582 - 1400 = 182. 1 января 182: понедельник. 2 стадия: Находим день недели 1 января 180, находящемся от 140 года на расстоянии дважды по 20 лет. 1 января 182 понедельник; 1 января 181 - воскресенье; 1 января 180 - пятница (смещение на два дня для високосного года). 3 стадия: Находим день недели 1 января 140. От 180 до 140 расстояние в дважды по 20 лет, то есть имеем смещение дважды по 12 дней, что дает 1 января 140: четверг. 4 стадия: Находим день недели 1 января 139. Эта дата на один день раньше чем 1 января 140, то есть: среда. 5 стадия: Находим день недели 1 сентября 139. 1 сентября високосного года приходится на тот же день недели, что и 6 января, за исключением високосного года, когда аналогичный день 7-ой. Таким образом 1 сентября был понедельник. 6 стадия: 1 сентября - понедельник; 15 сентября - понедельник; 17 сентября - среда; 19 сентября - пятница. Этот ответ был дан через 4 секунды. Мадемуазель Осака Если Флери был, как мы уже писали, "тактильного" типа, женщина молниеносный вычислитель мадемуазель Осака принадлежала, как большинство великих счетчиков, к категории "визуальных". Эта девушка, позаимствовавшая азиатское имя, на самом деле француженка, родившаяся в нескольких милях от Багнер, была умственно отсталым ребенком. Она начала ходить и разговаривать только в возрасте четырех с половиной лет. Будучи болезненно слабой она мало посещала школу, так что к двадцати шести она могла только читать и писать. Ее образование было ограничено сложением. Однажды она присутствовала на выступлении которое давал, если не молниеносный вычислитель, то по крайней мере виртуозный вычислитель, и, не зная почему, она почувствовала, что сможет легко демонстрировать то же самое. "Давайте остановимся", справедливо замечает др. Ости в связи с этим, "на важном психологическом значении такого факта, как появление большого количества людей, которые игнорировали свои собственные исключительные способности вплоть до дня, когда случайное обстоятельство расшевелило в них чувство их особой исключительности в том или другом направлении: искусстве, литературе, науке и др. В подобных случаях все выглядит так, как будто-бы

- 29 - подсознание осведомлено об индивидуальных скрытых ресурсах, и под импульсом обстоятельств, успешно форсирует запускание ломающее барьер в сознании и разжигает жизненную искру." Возможно по этому мадемуазель Осака, побуждаемая этой странной уверенностью, принялась изучать правила вычислений в которых была слаба, то есть вычитание, умножение и деление, и нашла себя способной в этих операциях, про которые даже не понимала как они работают. Скоро ей стали очевидны два очень важных факта. С одной стороны она нашла, что способна вычислять с большой скоростью, а с другой, что она может хранить в памяти числа с которыми она манипулировала в голове. Это второе открытие побудило ее повернуть тренировки в другое направление. Она оставила попытки изучения вычислений и начала вместо этого запоминать все больше и больше чисел. С этого момента ее прогресс был удивительно быстр, так, что она смогла выполнить свое тайное желание показать себя публике. Она усовершенствовала свои возможности, заучивая на память колоссальные массивы чисел которые вычисляла на бумаге: степени чисел в 1 и 2 цифры до 10-й; степени 3 значных чисел до 7-й или 8-й, число часов, минут, секунд соответствующих годам, и т. д.. В этом состоянии ее устный числовой багаж был буквально неразрушим, и мадемуазель Осака была готова дать ответ немедленно и безошибочно, в рамках ее знаний, на каждый вопрос по степеням или корням; и то же самое по количеству секунд прожитых чеовеком того или иного возраста, и т.д., с тем же успехом. Когда она желала запоминать числа она видела их ка если бы они были снаружи; когда сотня или около того цифр было продиктовано ей это было как если бы они были написаны на черной доске и было, как она говорила, "более четко чем в реальной ситуации". Таким образом, если ее спрашивали о шестой степени 97, она "видела" все перемножения которые она использовала для вычисления степени 97, от второй до шестой. Если доска была заполнена цифрами и ее спрашивали какое число записано в пятой строке, мадемуазель Осака, которая только слышала цифры произнесенные ей, видела все числа на доске немедленно и четко. Ее способности к запоминанию были так велики, что она могла повторять их как в прямом, так и обратном порядках, с одинаковой легкостью. Следующие эксперименты, проведенные

- 30 - др. Ости в Международном Институте Психологии дают представление о ее экстраординарных мнемонических способностях. Др. Ости попросил возвести в квадрат 97, затем в 10-ю степень то же число, оба из которых вычислительница дала мгновенно. После этого он спросил корень шестой степени из 402,420,747,482,776,576, затем квадратный корень из того же числа и снова ответы были даны сразу и правильно. Сделав это, он выписал, абсолютно случайным образом, последовательность в сто цифр и прочитал их со скоростью примерно одна цифра в секунду. "Когдя я закончил это тесирование", пишет др. Ости, "мадемуазель Осака повторила сотню чисел в порядке в котором они были ей произнесены. Примерно сорок пять минут спустя, после нашего разговора о различных вещах, я спросил мадемуазель Осаку, которая не ждала этого: - Не можешь ли ты повторить мне сотню цифр, которые я диктовал тебе около часа тому назад? - Очень легко, - ответила она. - А сможешь ли ты сделать это в обратном порядке? - Я попробую. И она сделала это." Во время демонстраци данной в небольшой аудитории, двадцать человек написали по числу на листочках бумаги, пронумерованных от 1 до 20. Бумажки смешали, затем громко прочитали, и выписали в названном порядке на доске содержащей двадцать секций пронумерованных от 1 до 20. Числа варьировались от миллионов до миллиардов. Мадемуазель Осака, стоявшая лицом к публике, слышала их но не видела. Она стояла спиной к доске, которую, просто можно было убрать. Для усложнения теста мадемуазель Осаку попросили выполнить несколько заданий до того, как она повторит числа на доске. Кто-то из аудитории спросил у нее квадрат и затем 10-ю степень 27, кто-то другой 10-ю степень 55, а после все степени этого числа по убыванию. Для девушки ответить на эти вопросы было как детская игра. Затем мадемуазель Осаку попросили повторить двадцать чисел выписанных на доске в порядке от 1 до 20, который она не слышала так как порядок произнесения был выбран случайно. Она

- 31 - выполнила это немедленно с удивительной скоростью и без единой ошибки. "За этим последовали", пишет др. Ости, "вопросы по возведению в степень 3-значных чисел. Кто-то спросил 2-ю, 3-ю, 4-ю, и 5-ю степени 223. Ответ был дан точный и без задержки. Для предложивших дату рождения, мадемуазель Осака сразу дала число дней, часов, минут и секунд которые они прожили, с учетом високосных лет. Одна персона предложила устно перемножить 624987 на 2358. Мадемуазель Осака сделала это медленно, цифра за цифрой. Сорок восемь цифр были вычислены за семь минут без видимых усилий и без ошибок. Мадемуазель Осаку попросили повторить числа, которые были выписаны на доске, начиная с конца. Она выполнила это немедленно, цифру за цифрой, начиная с секции 20 до секции 5, затем группами по три цифры для оставшихся секций. Затем ее снова попросили повторить цифры из секции 6, секции 13, и т.д.. Другой человек попросил ее повторить число из 7 секции в обратном порядке. Она дала немедленно правильный ответ. В этот момент др. Монтьер, который недавно просил ее перемножить 624987 на 2358, попросил мадемуазель Осаку, если она может, снова дать результат произведения. 48 цифр были сразу повторены с большой скоростью. М. Морис, архитектор, попросил, как дополнение к тесту с доской, повернуться лицом к стене и чтобы мадемуазель Осака снова повторила числа. К ее собственному удивлению, девушка повторила их все так быстро как только могла произнести". Эти способности действительно феноменальные, если помнить, что операции базируются на колоссальной памяти на числа. Помнить тысячи чисел, каждое состоящее из 15, 20, 30 или даже 40 цифр, вынимать их немедленно и точно из глубин подсознания - это ужасно сложная операция, которая, как я верю, и смогу объяснить позже, граничит с паранормальностью. И здесь другой странный аспект экстраординарной памяти мадемуазель Осака, аспект который мы замечали у других молниеносных вычислителей. Кроме чисел, она имела сложности в запоминании обычных фактов и вещей которые изучают в школе. Она так никогда и не смогла запомнить правильный порядок букв в алфавите. Морис Дагбер Мр. Морис Дагбер, молниеносный вычислитель, который выступил на

- 32 - конгресе фокусников проходившем в Париже в 1947, и позже раскрыл все свои возможности на Конгрессе в Лазанне в 1948, ни как не обладал гигантской памятью мадемуазель Осаки; однако его возможности в запоминании были потрясающими. Кроме того, его возможности как устного счетчика были такими, что по крайней мере были равними Иноди. Из операций, продемонстрированных перед Академией Наук, он извлек корень пятой степени (ответ: 243) за 14 секунд; корень седьмой степени (ответ: 125) за 15 секунд; кубический корень (ответ: 78517) за 2 минуты 15 секунд; корень пятой степени (ответ: 2189) за 2 минуты 3 секунды; и возвел в куб 827 за 55 секунд. Вот отчет о Мр. Дагбере сделанный господами Гастон Файетом, Жаном Чази и Джозефом Пересом, взятый из 220 тома Еженедельных Отчетов Академии Наук: "По запросу постоянных секретарей мы экзаменовали 'устного счетчика' Мориса Дагбера, который пожелал быть представлен членам Академии. Результаты проверки были убедительными и представляются для нас необходимыми для публикации в Еженедельных отчетах. Способности М. Дагбера в вычислениях возможно сравнимы с аналогичными у Жака Иноди, исследованного в Академии господином Дарбу в 1892. Подобно Иноди, М. Дагбер наделен исключительной памятью. Он сообщил нам, что работает с цифрами с помощью чрезвычайно живых образов которые получает закрывая глаза или смотря на белый объект (например, потолок хола в котором он работает). Он видит как цифры появляются перед ним, если бы их ему предложили и он записал бы их сам на черной доске.1 Во время проверки, которая длилась 2 часа 30 минут, М. Дагбер имел возможность выполнить различные вычисления (вечный календарь для Грегорианских или Юлианских дат, перемножение, возведение в степень и извлечение корней). Детали были записаны в отчете о собрании который хранится в архивах Академии. М. Дагбер имеет только начальное образование и его знания математики и элементарной алгебры почти нулевые. Его заинтересованность вычислениями была следствием встречи с Иноди, когда ему было 14, что заставило его приложить усилия, очевидно 1 М. Дагбер мог, с абсолютной точностью, представлять числа как если бы они были написаны белыми на черной доске. Его мыстенные образы были менее чистыми если цифры были красные на голубой доске, и даже хуже если желтые фигуры на темно-зеленой поверхности.

- 33 - оказавшиеся успешными. Он рассказал нам что он для себя разработал некоторые правила, которые использовал в вычислениях, правила, коорые были найдены чисто эмпирически и для которых он не имел объяснения. Он дал нам пример, особенно простой, правил которые он разработал для вычисления куба двузначного числа: Он использовал два ключевых числа, определяемые числом единиц u, которые он знал на память, но которые в начале пропускает. Сразу выясняется что первое ключевое число x это число единиц, второе y число десятков в 3u2. Правила Дагбера появляются как результат обработки формулы бинома (10d + u)3, вычисления проводятся так, чтобы получать знаки ответа последовательно: u3 дает число единиц остаток для следующей работы; xd это число которое надо добавить, дает цифру десятков и остаток; (3u + dy)d, с добавлением остатка, число сотен; окончательно, для полного результата добавляется d3, что дает тысячи в ответе. Не удивительно, что в таком состоянии М. Дагбер, чья скорость и сила в вычислениях были замечательны в области в которой он так хорошо разбирался, должен был проложить дорожки к упрощению процессов (подобно тем, которые делал Иноди, во время его презентации в 1892), требующим некоторые алгебраические преобразования. После того, как демонстрация была закончена, М. Дагбер был представлен членам Академии и продемонстрировал перед ними самые сложные устные вычисления на которые был способен." В своих публичных выступлениях, арифметические операции которые он производил устно перекрывали друг друга, так что каскады чмсел льющиеся на аудиторию, почти без остановки, странно перемешивались. Сначала одиного человека просили назвать свой возраст, затем пять двузначных чисел получилось от публики. Немного погодя счетчик давал третью степень первого числа, четвертую степень второго числа и пятую степень третьего; Затем он останавливался, чтобы указать зрителю сколько часов тот прожил, минут и секунд, и показывал, вычисляя на доске, что високосные года тоже входили в расчет. Он закруглялся выдавая шестую и седьмую степени последних чисел, и эти два ответа, надо заметить, состояли из 11 и 13 знаков каждое. Затем предлагалось более сложное: возведение трехзначного числа в куб, и дальнейшее извлечение корней. Кто-то, например, давал 15

- 34 - значное число, другой 19 значное и под конец предлагали даты как грегорианского так и Юлианского календарей; все давалось одновременно. Мгновенно артист определял соответствующий день недели, выдавал кубический корень из первого числа и, частично, корень пятой степени из второго. Отвечал на поступающие вопросы по датам. И наконец, давал полный кубический корень из второго числа. Подобные операции следовали с больший скоростью, сопровождались сравнениями с датами пасхи, временем восхода и заката солнца, и фазами луны. В финале он заканчивал выступление повторением всех чисел, которые были использованы во время шоу, то есть, почти сто пятьдесях цифр. Необходимо добавить, что во время выступлений М. Дагбер часто играл небольшие отрывки на скрипке, пока делал сложные вычисления в голове. Так, во время игры фантазии из Травиаты с поразительным мастерством, я попросил его извлечь двадцать кубических корней в 3 знака и перемножить 5 значное число на другое число в 6 знаков. Все вычисления заняли семь минут. Положив свой инструмент счетчик выдал двадцать один ответ сразу, абсолютно без ошибок. И он никогда не использовал карандаш или бумагу, даже для написания самой задачи. Психология Молниеносных вычислителей После этого краткого изучения главных молниеносных вычислителей, давайте рассмотрим, в каких ситуациях их способности проявляются и какие механизмы их создают. Прежде всего заметим, что дар к вычислениям не передается по наследству. Есть только два известных исключения - Биддер и Диаманди. Первый передал свой дар своим детям и внукам, в то время как Диаманди имел одного брата и одну сестру которые обладали способностями к устным вычислениям аналогичным ему. У всех дар проявлялся спонтанно, без какой-либо стимуляции. Наоборот, многие молниеносные счетчики имели бедных и даже очень бедных родителей, которые слишком мало обращали внимания на обучение или образование своих детей. Стоит добавить, как мы уже отмечали, что некоторые счетчики были сначала отмечены в детстве как отсталые. В возрасте 17 лет, бельгийский счетчик

- 35 - Оскар Верхаеж представлял из себя мальчика 2 лет.1 Было описано ранее что Зера Колберн обладал признаком дегенеративности: дополнительными пальцами на каждой руке и ноге. Другой молниеносный счетчик, которого мы не описали так много, был Пролонже, который родился без рук и ног. Монде был истерик. В дополнение ко всему, ни какие внешние условия в которых молниеносные счетчики работали, ни их общее интеллектуальное развитие, ни, наконец случаи, когда многие из них давали нам объяснения своих способностей: они не имели ни какого влияния от учителей, нет даже примера, нет ни одного описания как путь их жизни ожет быть превращен в стандартное образование, а их интеллектуальный уровень обычно был гораздо ниже экстраординарных арифметических способностей. Как правильно сказал Альфред Бине: "В рождении их способностей, есть что-то что имеет сходство с самозарождением". Другой признак, который характерен для молниеносных счетчиков, это раннее развитие. В случае с Гауссом и Уэйтли их способности онаружили себя в возрасте трех лет. Рассказывают, что отец Гаусса имел привычку платить своим рабочим в конце недели и при этом добавлял премии за каждый дополнительный час сверх работы, основываясь на полной занятости каждый день. Однажды, когла Гаусс старший только-только закончил свои вычисления и подготовил деньги, ребенок, которому было едва три года и который только следил за работой отца без объяснения, закричал: "Папа! Папа! Ты ошибся. Число должно быть вот каким." Сумму подсчитали снова но более тщательно и всех удивило, что маленький мальчик действительно дал правильное число. Точно так же Ампер выполнял в уме длительные устные операции в возрасте четырех лет, когда не знал еще букв и цифр. Он ни чего больше не использовал кроме камешков и фасолин. История, расказанная Араго, достаточно точно демонстрирует силу любви к вычислениям захватившую ребенка. Maternal tenderness having deprived the young Ampere of his beloved beans during an illness, he replaced them with fragments of a biscuit which he had been given after a three days' fast 1 Оскар Верхаеж, родившийся 16 апреля, 1926 в Боусвале (Бельгия), в семье скромных гражданских слуг, принадлежит к группе счетчиков чей интеллект гораздо ниже среднего. Его коньком является возведение в степень чисел состоящих из одинаковых цифр. Так, 888.888.888.888.888 было возведено в квадрат за 40 секунд а 9.999.999 в пятую степень за 60 секунд, дав результат в 35 знаков. Оскар Верхаеж был подвергнут многочисленным тестам различными исследовательскими группами и знаменитым математиком Крайчитом, в Брюссельском Университете.

- 36 - Ампер, как мы знаем, стал одним из величайших Французских физиков, но, что странно, пропорционально тому, как его изучение классической математике и в науке развивалось, так же он прогрессивно терял свои способности к устным вычислениям. То же самое произошло и с Уэйтли, который писал: "Мои способности к вычислениям имели одну особенность. Они проявились в возрасте четырех лет и наблюдались еще три года. Я мог выполнять самые сложные сложения в голове, и делал все гораздо быстрее чем другие кто выполнял это на бумаге, и ни разу не было обнаружено ни одной ошибки. Но через некоторое время я пошел в школу, моя способность вычислять исчезла и с тех пор я был очень слаб в математике". Safford, according to M. Scripture, could do multiplications in his head with answers running up to 36 figures at the age of five. As he had remarkable aptitude for classical mathematics, he became a professor of astronomy, but entirely lost his faculty for lightning calculation. On the other hand the Swiss, Leonard Euler, who began calculating at the age of five and who, according to his biographer Lacroix, "deserves to occupy in mathematics the place which Voltaire holds in literature", retained his prodigious facility for mental calculation until extreme old age. Possessed of an encyclopaedic mind and gifted with a colossal memory, he not only solved the most complex problems of analysis or geometry in his head, but also knew by heart the Aeneid of Virgil, his favourite author, and had a profound knowledge of physics, chemistry, zoology, botany, geology and medicine as well. He was also well versed in history and the Greek and Latin languages. In 1937, an English Sunday newspaper published a Reuter report from Vienna that Meho Focie, aged 5, the son of a bootmaker, had amazed mathematics teachers in Zagreb. He had not learned to read or write, but he could solve any complicated problem in his head. He was able to multiply or divide six figure numbers and find their square roots without a mistake in a few seconds. A mathematician, watching him at play, asked him: "I am fifty-one today; how many days have passed since my birth?" Without stopping his game the child gave the exact answer, taking leap years into account. Colburn, Prolongeau and Inaudi began calculating at the age of six, and Bidder, Mondeux and Mangiamele, the less precocious examples of the series, at the age of eleven. Alfred Binet has suggested eight as the average age for the first manifestations of the gift of lightning

- 37 - calculation. However that may be, what should be especially noted on this subject of precocity is the number of them who began to calculate before knowing how to write figures. Thus they worked out numbers in their heads without, understanding the meaning of a written figure. This is a rather mysterious fact, difficult for an adult accustomed to calculate with these precise and convenient symbols to understand. An exceptional memory for numbers, the ability to keep them stored in the consciousness in a manner bordering on the supernatural also characterises the lightning calculators. It is in both these characteristics specifically that they surpass ordinary mortals, and in the second that they resemble hypnotic or psychic subjects in whom sensation can take the form of hallucination. The memory of the lightning calculator is generally a visual one, but it may also be auditory, tactile or motory. Mondeux and Colburn saw figures form before their eyes, as if traced by an invisible pen. Diamandi perceived them before his frontal lobes. Mlle. Osaka saw them, when they were dictated to her, as if written "in white upon a blackboard". It was the same for Dagbert. Dismer, the shepherd who lived not far from Stuttgart, and Pierre Annich, the herdsman from the Tyrol, who were also lightning calculators, were also "visuals". Inaudi, on the other hand, was primarily an "auditory". "I hear a voice which calculates", he often said. This voice, however, did not prevent him from following a conversation, or from simultaneously carrying out easier calculations than the main problem put to him, or from playing the flute. The mysterious voice continued its soliloquy and at the end of a certain time supplied Inaudi with the answer to an extraordinarily complicated calculation. Fleury, as we have said earlier, was a "tactile". Finally it seems that the majority of the calculators have also brought their "motor" memories into play, either by involuntarily executing certain movements with their hands or by silently articulating the figures. It was thus that Jean Hutzinger, a lightning calculator who had his hour of fame, constantly moved his lips while calculating. To sum up, it is very probable that a particular form of memory predominates in this or that case, but that all the memory forms play their part to a greater or lesser degree.

- 38 - The Hidden Powers of the Mind To explain the gift of mental calculation the classical psychologists invoke certain quite ordinary psychic qualities carried to a high degree. Their view is clearly expressed by the Swedish neurologist Dr. Jakobson in Acta Medica Scandinava. "The lightning calculators", he says in substance, "are subjects gifted with a highly developed visual memory and an excellent memory of association, who are apparently unaffected by mental fatigue and are capable of concentrating their attention upon complex operations very rapidly and for a prolonged time. Impelled from a very early age by the development of a spontaneous faculty for mental calculation, they acquire progressively an automatic memory for arithmetical operations which is independent of all mathematical training properly so called. In this way they can greatly extend, by simple memory, the numbers of the multiplication tables of which they know the products by heart. Such subjects have no more need to reflect, that is to say engage even in a mental operation, in order to multiply two numbers of three or even four figures, than we have to multiply the ten first numbers in Pythagoras' table. Starting from this data they can easily reduce the most complex multiplications to a small number of operations of which they add up the products mentally. To do this they literally see the figures as "written in the air". Divisions are done in the same way, simplified by a method consisting in extracting from the dividend the squares, known by heart, of the round numbers into which the divisor can be resolved. "Every arithmetical operation can be broken down in this way into a certain number of 'prefabricated' operations, of which the results ure known by heart and which it is then only necessary to add up with the remainders. In essence, therefore, it is more a question of a very special form of memory, which has been developed by training, than of a genuine aptitude for calculation." In reality this explanation is clearly inadequate. It explains neither their precocity nor their innate gift, nor the fact that it can show itself in mentally backward persons, nor the often prodigious character of the arithmetical memory of many of the calculators. Moreover it docs not sufficiently emphasise the extent to which they perform their feats automatically.

- 39 - When Inaudi hears a voice which calculates within him while he continues to converse or is consciously doing quite different calculations, when Dagbert plays a brilliant piece on the violin and during this time solves twenty-one complicated problems in his head, do we not see here appearing the "unknown guest" of Maeterlinck, emerging from the normal personality, superimposing itself upon it and proclaiming its independent existence? Certain calculators have moreover actually felt this "guest" living within them and have distinctly recognised it. "From my childhood", writes Ferreol, "I calculated in an entirely intuitive manner, to such an extent that I frequently had the impression of having lived before. If I was set a difficult problem the answer sprang directly from my mind without my knowing at first how I had obtained it; I then looked for the method by starting from the result. This intuitive power of comprehension, which never made mistakes, developed in close parallel with the exercises which it was called upon to do. I still often have the impression that someone is beside me who whispers to me the answer I wish for, the paths I am seeking, and generally these are paths which no one, or almost no one, has trodden before me and which I should not yet have found if I had set out to lookforthcm." (Reportedby Moebius, Uber die Anlage zur Mathematik.} With this calculator the separation between conscious thought and the subconscious or psychic faculties seems to have been complete, the conscious control being only an accessory condition. It was the same with Bidder: "He possessed", writes M. V. Pole, "an almost miraculous faculty for finding, more or less intuitively, factors which when multiplied together gave this or that large number. Thus, given the number 17861, he could see at once that this resulted from the multiplication of 337 by 53 ... He said that he would not be able to explain how he did it; with him it was almost a natural instinct." Much the same can be said of Verhaeghe, who is quite unable to explain the mechanics of the complicated mathematical operations he carries out with such extraordinary rapidity and accuracy. When he is asked how he sets about it, he replies: "I do not know. It comes to me like that". Elsewhere, as with Buxton, Inaudi and Dagbert, there existed or exists an instant-by-instant collaboration between the conscious and the unconscious, a contact between the two levels of the mind, and

- 40 - it is certain that among calculators the artifices which enable operations to be simplified and which are apparently discovered by the conscious mind, are in fact, automatically introduced by the unconscious. This is clearly implied in a statement by the "amateur" calculator M. Paul-Aumont Lidoreau, who uses a certain number of established tables in the extraction of cube roots.1 "I do my calculations entirely in my head", he said, "without any cerebral fatigue. I am aided in this in an incomprehensible manner by my subconscious mind, and it is this, I suppose, which docs the most important work. Thus, to extract the cube root of a 15 figure number, I have to perform an average of 12 to 15 operations in 20 seconds. Several of these calculations do themselves simultaneously in my mind without my knowing exactly how." Added to these are other facts of a slightly different kind which demonstrate that in our psychic personality the unconscious is an active region, capable of creation. "It is not I who think", confided Lamartine, "it is my ideas which think for me." Similarly Alfred de Musset said: "You don't work, you listen; it is as if a stranger spoke in your car". Schopenhauer has also defined the role of the unconscious: "My philosophic postulates have all produced themselves without my intervention, at moments when my will has been asleep and my mind not engaged ... Thus my personal self has been a stranger to my work". This subconscious activity also shows itself in the scientific field. "Instead of forcing myself to understand a proposition on the spot", 1 М. Поль-Амонт Лидоро заинтересовался устными вычислениями в раннем возрасте. Когда он учился в школе, он уже мог извлекать корни из чисел от 9 до 15 знаков в голове с помощью метода, который он позже улучшил. Как все счетчики виртуозы он демонстрировал операции с вечным календарем, и мог вычислять возраст человека в днях, часах, минутах и секундах с большой скоростью. Но он специализировался на извлечении кубических корней не оканчивающихся на 5. В этом классе он даже побил рекорд Иноди (который был 2 минуты 15 секунд на извлечение кубического корня из числа в 15 знаков) дав через 20 секунд кубический корень из точного куба в 15 цифр и через 46 секунд из точного куба в 18 цифр. Во время демонстраций, организованных в Международном Институте Психики, М. Лидоро извлек кубические корни из следующих чисел в голове за несколько секунд и без ошибок: 37 246 609 599 930 290 504 924 579 746 488 13 055 567 849 956 664 В противоположность большинству устных вычислителей, М. Лидоро не обладал особой памятью на числа.

- 41 - Arago notes, "1 admit provisionally that it is true; and the next day I am astonished to comprehend perfectly what seemed wholly obscure the night before." Answering a question by Paul Valery, Professor Langevin made a similar observation: "Each time", he said, "one thinks with intensity and has thus to some extent prepared the work of the subconscious, this latter continues of its own accord and sometimes gives \varning when it has finished. I have very clear recollections of an inner shock informing me at a given moment that a question has been solved and that there is nothing left to do but to consciously express the result". Joliot-Curie too stated that he had had "sudden illuminations" supplying him with the best means of producing and observing a phenomenon, with the immediate sensation that the method thus suggested was unique and that any other would be less simple. "This sensation", he says, "I can recall in at least two circumstances, of which one was the proof of the explosion of the uranium atom." On his side Professor Jacques Hadamard reveals: "I have found a long-sought solution at the precise moment of a sudden awakening, caused by the motion of a car, and this solution has revealed itself to me in a direction quite different from that in which I had sought it until then". Leaping over a mass of intermediate reasoning and outstripping years and even centuries of research, the unconscious is sometimes capable of bringing surprising truths to the notice of the conscious. At the death of Pierre Fermat, one of the greatest mathematicians of the seventeenth century, there was found in his home a copy of the works of the Greek mathematician Diophantes, bearing in the margin the following annotation in Format's handwriting: "I have demonstrated... (he states a concept which it seems needless to quote here) but I cannot write down the demonstration, as the margin is inadequate". "Now", notes Jacques Hadamard, "this demonstration for which the margin seemed to him too narrow, has been sought for in vain for three centuries past. Essential progress has been made along the lines of his theorem: it has already been demonstrated in limited cases. But for this it has been necessary to bring to bear a whole arsenal of algebraical theories scaffolded one upon another, and of which none was known in Permat's time, of which none was even imagined at that time, and no allusion by him indicates that he even suspected their existence."

- 42 - Riemann, writing about his work on the distribution of prime numbers, sets out a series of properties and notes: "These properties are the consequence of a formula which I have not simplified sufficiently to publish". Mathematicians are still seeking for this formula. Another example, as classic as the others and like them illustrating the creative power of the subconscious, is provided by certain discoveries of the mathematician Evariste Galois, who was killed in a duel at the age of twenty. "During the night before the duel in which he was to lose his life", states Hadamard, "Galois wrote to a friend, summarising a whole series of discoveries he had made. Among these was a mathematical statement which was quite clear to him, and is quite clear to us, but which could not have had any meaning in his time. As it stood it was not comprehensible. It became so only with the help of principles which were established a quarter of a century later.1 "Like Fermat and Riemann, Galois must have had a hidden knowledge of these fundamental principles, inwardly perceived but not realised by his conscious mind." Let us recall finally that it was to subconscious activity that Hcnri Poincare owed the discovery of the fuchsian functions.2 For some days he had been seeking to demonstrate that such functions could not exist when, "one evening", he states, "I drank some black coffee, contrary to my habits. I could not sleep; ideas surged up in clouds; I felt them colliding with each other until two among them came together to form a stable combination". The following morning the great mathematician wrote down the ideas which had arisen unbidden in his mind: the fuchsian functions were created! From these various examples it appears that such unconscious activity has some analogy with the subconscious feats of lightning 1The concept in question was submitted to the Academie des Sciences and judged to be completely incomprehensible by the eminent mathematician S. D. Poisson. Fifteen years after the death of Evariste Galois, the mathematician Liouville glimpsed the exceptional value of the proposition and published it in the Journal de matematiques. "To understand the sense of it," he emphasised, "it is necessary to work at it for two or three months, doing nothing else." Little by little mathematicians grasped its importance and demonstrated to what point it could play an important role in the coordination and clarification of principles of geometry, algebra and numerous branches of mathematical analysis. 2Henri Poincare (1854-1912) developed earlier work on functions and differential equations by Immanuel Fuchs (German mathematician, 1832-1902). He used Fuchs' name to identify functional terms which remain invariable when substitutions are carried out in respect of variables associated with them in the same mathematical expression.

- 43 - calculators. In the case of the mathematicians quoted above, as with the lightning calculators, the conscious sets out the conditions of a problem, and the result, which reasoning would not have been able to obtain rapidly or would never have obtained, springs suddenly from the subconscious. What seems essentially to characterise the lightning calculator is that to a greater degree than ordinary mortals he can use faculties which are in some way innate and which probably exist in a latent state in every human being. We have said advisedly "in every human being", for they have been found to show themselves in normal people, by the use of processes which separate the conscious from the unconscious artificially. "A fair number of cases have been cited", writes Dr. Osty, "of people who, though unable to do the least mental calculation by ordinary means, have shown themselves to be lightning calculators when their subconscious has been placed in conditions where it can express itself directly, cither by the use of so-called automatic writing or table-rapping, etc. I know a prominent Parisian who is exceptionally poor at any sort of calculation, even with pen and paper, yet who can supply immediate answers to any operation by unconscious writing; even if he has been rendered voluntarily inattentive to the problems, his ears have none the less registered unconsciously. I will wager that we would be surprised by the number and quality of lightning calculators we would discover if instead of demanding trivial and disconnected answers from tables and ouijas1, calculations were asked for instead. Any procedure which places our psychic potentials in conditions where they can express themselves could give birth to prodigies. Only one physiological perturbation, either imperceptible or evident, is needed to make possible on the functional plane of consciousness what is so often feasible where the unconscious alone is concerned, and a great calculator, precocious or the reverse, is thereby revealed." 1The ouija is composed of a small oval-shaped planchette with a pointer, on three short feet with or without casters, and of a horizontal hoard on which are set out the 26 letters of the alphabet, the 10 figures, and the words yes and no. The medium rests his hand on the planchette and his arm, which is alleged to be animated by a "spirit", pushes the apparatus over the board, in this way writing words and phrases, letter by letter. The phenomenon is most often a simple manifestation of psychic automatism. Indeed it can generally be put out of action by bandaging the medium's eyes and replacing the board he is accustomed to by a hoard on which the characters are arranged in a different order. When the subject has genuine qualities of clairvoyance the phenomenon can still succeed in these conditions, but this result is extremely rare.