Мнемоника - Статьи

БЫСТРЕЕ МЫСЛИ
Б. В. Бовдер. 1953 (стр. 311-315)

Глава 26 Мышление и машинные процессы Cogito, ergo sum - ДЕКАРТ
Я не думаю, значит я не существую - ДР. СТРАБИСМУС (хранимый Богом) из Утрехта. Президент Анти-декартового Общества

И ТАК, МЫ ОПИСАЛИ конструкцию этих новых цифровых компьютеров, и попытались показать как удобны они могут оказаться в рутинных вычислениях. If we are to complete the story we must also try to assess the limitations of the machines which we can build today, and, if possible, to discuss any limits to the performance of machines which may be built in the future. We shall try to compare the processes which go on inside them with those which are responsible for the thoughts in our own minds. This subject is far too complicated to be dealt with in a single chapter, but we shall try to describe some of its more important aspects. We shall begin by giving an account of some of the astonishing feats of mental arithmetic which are demonstrated by those rare individuals who are known as "calculating prodigies." Many accounts of these men have appeared, of which one of the best known is to be found in W. W, R. Ball's book,* to which the reader is referred for a comprehensive historical account of the subject.

At rare intervals there have appeared men and boys who display extraordinary powers of mental arithmetic. In a few seconds they can give the answer to questions which an expert mathematician could obtain only in a much longer time with the aid of pencil and paper. Some of them have remained otherwise illiterate; others, such as Gauss, Ampere, and Bidder, have risen to positions of eminence as mathematicians, physicists, or engineers. Many of them seem to have taught themselves the rules of arithmetic in their childhood, and to have learnt the multiplication table by playing with pebbles. Few of these prodigies have been able to explain in detail how they achieve their apparently miraculous results, but two of the most remarkable of them have been kind enough to discuss their methods with us. We are therefore much indebted to Dr. A. C. Aitken, F.R.S., Professor of Mathematics in Edinburgh University, to several of his old students, to Dr. Stokvis, and to Dr. van Wijngaarden and Mr. William Klein of the Mathematisch Centrum, Amsterdam, lor the information which we have used in the following pages.

Насколько мы можем судить, профессор Айткен и мистер Клейн использовали очень похожие методы в своих устных вычислениях; их скорость была сопоставима, и они по крайней мере были так же быстры, а возможно и быстрее, чем любые другие чудо-счетчики, чьи вычисления были описаны в прошлом.

Оба обладали удивительной памятью - они знали наизусть таблицу умножения вплоть до 100 x 100, все квадраты до 1000 x 1000, и ненормально большое количество конкретных фактов, таких как 3937 x 127 = 499999, что сильно помогало им в работе, и казалось, приходило в их мозг мгновенно, как только возникала необходимость. В добавок мр. Клейн знал наизусть логарифмы всех чисел до 100, и все простые числа менее 10000 (до двадцати десятичных знаков) так что он мог работать с различными сложными формулами "доставая" логарифмы из головы, после разложения используемых чисел, если это было необходимо. Он также достаточно изучил календарь, чтобы быть готовым назвать день недели соответствующий любой предложенной дате в истории; и, ради удовольствия, выучил большинство номеров в Амстердамском телефонном справочнике. Профессор Айткен пренебрегал логарифмами предпочитая математические формулы, классическую игру на пианино и сонаты Баха и Бетховена, но тем не менее он заучил 802 знака числа p наизусть примерно за пятнадцать минут, и сравнивал позже эту работу с трудностями выучивания фуги Баха.

Если кто-либо поймет, что в добавление к феноменальной памяти оба обладали одинаково феноменальными способностями к устной арифметике, то он сможет понять некоторые достижения, которые они демонстрировали каждый день. Мр. Клейн перемножал одно шестизначное число на другое шестизначное в голове быстрее, чем обычный человек мог это сделать используя настольную вычислительную машину. Например, он выписывал результат перемножения шести пар трех-значных чисел за девять секунд; специалист оператор на вычислительной машине дела те же вычисления за минуту.*

Мр. Клейн перемножил 1388978361 x 5645418496 = 7841364129733165056 полностью в голове, что потребовало двадцать пять перемножений двух двузначных чисел и двадцать четыре сложения четырехзначных чисел - сорок девять операций всего - за шестьдесят четыре секунды. Читатели могут попытаться повторить это самостоятельно с карандашом и бумагой. Многие из нас попытались сделать это здесь в Манчестере; время затраченное нами варьировалось от шести да шестнадцати минут, и все наши ответы были не верными за исключением одного.

Студенты профессора Айткена рассказывали многочисленные истории о его необычных способностях в устной арифметике которые он демонстрировал на лекциях. Например, он часто просил присутствующих студентов дать ему девять случайных чисел, каждое в два или три знака, которые он записывал в форме матрицы 3 x 3. Затем он в уме оценивал девять множителей и детерминант, получая присоединенную и обратную матрицы. Он также вычислял все четыре корня квадратичного уравнения с действительными корнями, коэффициенты которого давали ему ученики.

Как вариант методов профессора Айткена мы опишем опереции, которые он производил устно вычисляя квадратный корень из 567, окончательно сравнивая ответ с 9√7. Его метод основан на том факте, что если a это первое приближение Vn тогда ½(a + n/a) гораздо ближе, но его вычисления облегчались его потрясающим знакомством с таблицей обратных величин.

Он выбирает 24 как первое приближение, а 23,8125 как второе (23,8125 = ½(24 + 567/24)). В тот же момент он вспоминает, что 1000/42 = 23,809523, а это очень близко к 23,8125. Он выясняет, что 567 x 42 = 23814 почти прежде чем соображает, что делает. Усредняя 23,809523 ... и 23,8140 он получает третье приближение 23,81176190476. Одновременно он вспоминает, что 1/84 = 0,0117619047619 ... и за портясающе более короткий промежуток времени чем это все описано, возможно в три секунды максимум, он выдает 23,811762 как квадратный корень, который требуется. Но возникает вопрос, сколько цифр верных? Он подмечает, что промежуточный результат 23,8095 и 23,8140 имеют ошибку с отклонением в 0,00225 или сравнительную 1/10583. Как молния он извлекает корень и делит его пополам, и уменьшает первый ответ на одну 224 миллионную, получает 23,8117617985, и предлагает как второй результат 23,81176180 (в действительности это 23,8117617996). "Было бы безрассудным," говорит профессор Айткен, "просить о большей точности. Словами нельзя передать скоростные ассоциации в этом деле, и ресурсы памяти и счетности не описать на бумаге. Желание подгоняет и усиливает требование; мозг и память подчиняются как будто бы нажали электронный переключатель."

Все чудо-счетчики с длительным опытом приобретают, изумительную осведомленность о свойствах различных чисел. Например, профессора Айткена однажды попросили перемножить 123456789 на 987654321; он мгновенно подметил что 987654321 это 80000000001/81, превратив скучную задачу в "подарок". Спрошенный разложить в десятичную дробь 41/67, он помножил делимое и делитель на 597, получив 24477/39999, и выписав немедленно 0,611940298507462686567164179104477.

Еще будучи школьником он был способен удивлять своих приятелей возведением в квадрат 57586 в голове за две секунды. Он делал это используя следующую формулу a² = (a - b) (a + b) + b².

575862	= 57500 x 57672 + 862
	= 23 x 144180000 + 862
	= 3316147396.

These short cuts, which are an essential part of the repertoire of all mental prodigies, are quite beyond the scope of a machine, which makes much better time by using straightforward methods once the problem has been explained to it; but it is in this sort of way that Mr. Klein performs a type of computation in which he has a most unusual skill. He can express prime numbers of the form 4n + 1 as the sum of two squares; if they can be expressed as 8n + 1, in the form 2c² + d², etc. For example -

5881	= 752 + 162
	= 2 x 542 + 72
	= 3 x 322 + 532
	= 5 x 92 + 742
	= 7 x 242 + 432

all of which he did in 100 seconds. Any machine would take a relatively long time to do such a computation, as it would have to work by a tedious process of trial and error. A mathematician would probably take an hour or so to prepare a tape of instructions for a machine which was to handle the general case, a second or so to feed in the particular number which he wanted to investigate, and the machine would take two or three seconds at most to produce the whole series of squares once it had started to work. The point is, of course, that the machine has to be told everything it needs to know for this particular problem, and even when it knows how to proceed it may well take so long for a man to pose a problem to the machine that a human calculator may have done the sum long before his colleague has had time to punch a tape with which to feed the numbers into the machine.

A calculating prodigy draws continually on the accumulated experience of a lifetime's arithmetic and both his "strategy" and his "tactics" are opportunist. Professor Aitken says: "Though these processes take time to describe, they pass in the mind with prodigious speed, though with the ease and relaxation of a good violinist playing a scale passage. Often the mind is so automatic that it anticipates the will.

"The power of numerical memorizing came to me later than verbal, but rapidly improved with mental calculation; and soon all three kinds, verbal, numerical and musical advanced equally. If the number to be scanned had a strong mathematical interest, like p or e or Euler's constant g, or those almost uncanny numbers like e ^p√163 which is 262537412640768743,999999999999250 (incredibly close to a whole number), then I could hardly help absorbing them to very many decimal places.

"The numbers come into view as one needs them, but even to say that they come into 'view' gives a false impression. It is not 'seeing' in the ordinary sense; it is a compound faculty that has never yet been accurately described. The analogy of music will throw light on calculation. The violinist (unless he is momentarily in a difficulty) docs not need to visualize the notes on the stave, or the fingering or the bowing; the melody is everything - he is caught up in what he is playing. So it is with the mental calculator; visualizing occurs last of all, and only as required when all else has been done."

The rest of us must be content to marvel.

Mr. William Klein's brother Leo, who died at the hands of the Gestapo during the war, was almost as good a computer as William, and a better mathematician. Dr. Stokvis, of Amsterdam, made a psychological study of the brothers;⁽¹⁾ he found that although their performances were very similar, their methods of operation were quite different. For example, Mr. William Klein remembers numbers "audibly"; he mutters to himself as he computes, he can be interrupted by loud noises, and if he ever does make a mistake it is by confusing two numbers which sound alike. Leo, on the other hand, remembered things "visually"; and if he made a mistake it was by confusing digits which look alike. Both brothers were fascinated by numbers from their earliest childhood; William practised arithmetic almost all the time, but Leo hardly ever. Leo studied mathematics at the university, but William read medicine, took a medical degree, and had "walked the hospitals" before he finally decided to earn his living as a computer. Dr. Stokvis investigated the effect of drugs and of hypnosis on Mr. William Klein, and found that neither improved his performance as a computer if he was using methods in which he was experienced and in which he had already achieved an "optimum" performance. Apparently Mr. Klein forgot to go to Dr. Stokvis's lecture so that the public demonstration of his talent which had been arranged had to be indefinitely postponed.

Many other mathematicians whose skill in arithmetic was much less than that of Professor Aitken or Mr. Klein have nevertheless been fascinated by the properties of numbers. Professor Hardy once visited the Indian mathematician Ramanujan, who was lying ill in hospital. To make interesting bed-side conversation Professor Hardy remarked that the number of his taxicab was 1729, which is a multiple of 13, and said he hoped that this was not an ill-omen. "On the contrary," said the sick man, brightening up at once, "1729 is a beautiful number; it is the smallest integer which can be expressed in two different ways as the sum of two cubes." That it can be so expressed is fairly obvious; to prove that it is the smallest such number may occupy the reader in leisure moments for some time, but he may derive, in the process, some idea what mathematicians with a gift for arithmetic talk about in their spare time.

The reader may feel that he is overwhelmed by the possibility of this kind of calculation, but before he decides to take up farming instead of arithmetic let us for one moment consider the mental arithmetic which is sometimes done by a certain Lakeland shepherd. During the course of a day his dog may drive past him a flock of perhaps two thousand sheep. At the end of the day he knows not only how many sheep are missing, but which sheep are missing. Now even if one assumes for purposes of argument that a man can learn to tell the difference between one sheep and another, one must admit that even a shepherd requires and can exploit a skill in mental arithmetic which few of us could ever hope to achieve.

. . .

---

* Математические эссе и развлечения. Посмотрите также Common Sense and Its Cultivation Ханбуру Хэнкина и Mental Prodigies Фреда Барлоу.

* Возможно Киёши Мастузаки тоже чудо-счетчик, использующий свой абак, как мр. Клейн использовал свою трубку - что бы занять пальцы (смотри страницу 6).